Question

采用matlab编程：曲线运动。高手请指教！！！

曲线运动
假设一个小孩在平面上沿一曲线行走，此曲线由2个时间函数X(t)，Y(t)确定，如果此小孩借助长度为a的硬棒拉某个玩具，请计算玩具的轨迹，设（x(t),y(t)）为玩具的位置。
训练内容：
1、数学建模。
2、编写函数求解。

Answer 1

小孩和玩具的问题
题目. 一个小孩借助长度为a的硬棒，拉或推某玩具.此小孩沿某曲线行走，计算并画出玩具的轨迹.
图 1
A
B
C
图 2
解：假设小孩拉的玩具如图1所示，由于整个推拉过程中（图2），玩具走的轨迹，只与C在地面上的投影点B的轨迹有关。所以我们把模型简化为图3。

A
a
图 3
假设1：小孩B点所走曲线为沿着小
棒a的方向（直线AB），则玩具A走的轨
迹为直线（沿AB方向的）。此时，小孩行
走的速度与玩具的速度相同。
假设2：小孩B点所走曲线为一个A点
为心的圆，则玩具不动。此时，如果小孩B
行走的速度为v，而玩具A的速度却为零，
这说明，在推玩具的过程中，小孩B的速度
与玩具A的速度不同。
由此特殊情况，我们可以看到，当小孩B行走的路线是曲线时，小孩B的速度与玩具A的速度是不同的。
假设3：如果小孩B点走的轨迹是一条曲线c（图4 ），不妨设曲线的轨迹方程是一个与时间t有关的参数方程。而玩具A走的轨迹为曲线c´。
图4

则t时刻小孩 的坐标为 ，
玩具 的坐标为 。
（1） t时刻，由于 的距离为a，由于小孩拉的是硬棒，在小孩拉玩具的过程中，假设棒与地面的角度不变，因此有：
，
即 （1）
（2） 设玩具在A¢点的速度，则的方向应为玩具所走曲线c¢的切线方向，而玩具始终是沿着小棒A¢B¢的方向，所以：
//
而
所以：
又 ，由向量知识有
简化得：
故有 ，
化简得 。

小孩所走曲线为一个以原点为圆心半径为R的圆时，小孩所走路径的曲线方程为：
，

利用MATLAB软件求解上述微分模型，程序如下：
函数文件：
建立函数文件fun5.m
function dy=fun5(t,y)
dy=[(-5*sin(t)*(5*cos(t)-y(1))+5*cos(t)*(5*sin(t)-y(2)))*(5*cos(t)-y(1))./((5*cos(t)-y(1))^2+(5*sin(t)-y(2))^2)

主程序：
clear,clc
close all
[t,y]=ode45('fun5',[0,100],[10,0]);
X=5*cos(t);
Y=5*sin(t);
figure(1)
plot(X,Y,'r.')
hold on
plot(y(:,1),y(:,2),'*')

%玩具的初始位置为(12,0)
t0=0;tf=100;
[t,y]=ode45('fun5',[t0,tf],[12,0]);
X=5*cos(t);
Y=5*sin(t);
figure(2)
plot(X,Y,'r.')
hold on
plot(y(:,1),y(:,2),'*')

%玩具的初始位置为(8,0)
t0=0;tf=100;
[t,y]=ode45('fun5',[t0,tf],[8,0]);
X=5*cos(t);
Y=5*sin(t);
figure(3)
plot(X,Y,'r*')
hold on
plot(y(:,1),y(:,2),'.')