已知圆心角为120°的扇形AOB的半径为1,C为弧AB的中点,点D、E分别在半径OA、OB上.若CD2+CE2+DE2=269,
已知圆心角为120°的扇形AOB的半径为1,C为弧AB的中点,点D、E分别在半径OA、OB上.若CD2+CE2+DE2=269,则OD+OE的最大值是______....
已知圆心角为120°的扇形AOB的半径为1,C为弧AB的中点,点D、E分别在半径OA、OB上.若CD2+CE2+DE2=269,则OD+OE的最大值是______.
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木兮03328
2014-11-26
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设OD=a,OE=b,由余弦定理,得
CD
2=CO
2+DO
2-2CO?DOcos60°=a
2-a+1.
同理可得CE
2=b
2-b+1,DE
2=a
2+ab+b
2 从而得到CD
2+CE
2+DE
2=2(a
2+b
2)-(a+b)+ab+2=
∴2(a
2+b
2)-(a+b)+ab-
=0,
配方得2(a+b)
2-(a+b)-3ab-
=0,即3ab=2(a+b)
2-(a+b)-
…(*)
又∵ab≤[
(a+b)]
2=
(a+b)
2,
∴3ab≤
(a+b)
2,代入(*)式,得2(a+b)
2-(a+b)-
≤
(a+b)
2,
设a+b=m,代入上式有2m
2-m-
≤
m
2,
即
m
2-m-
≤0,得到-
≤m≤
,
∴m最大值为
,即OD+OE的最大值是
.
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