Question

已知函数f（x）定义域为R，且对任意实数x，y满足f（x+y）=f（x）f（y）...

已知函数f（x）定义域为R，且对任意实数x，y满足f（x+y）=f（x）f（y），给出以下四个结论： ①若f（1）=2，则f（3）=8； ②若对任意x，恒有f（x）=c，其中c为常数，则c=0； ③若存在x0，使得f（x0）=0，则对任意x，恒有f（x）=0； ④若存在x0，使得f（x0）≠0，则对任意x，恒有f（x）＞0； 其中正确的是_____（只用填上正确选项的序号）

Answer 1

①③④
解：对于①，由条件可令x=y=1，则f（2）=f2（1）=4，令x=1，y=2，
则f（3）=f（1）f（2）=2×4=8，故①对；
对于②，对任意x，恒有f（x）=c，则f（x+y）=c，f（y）=c，
则f（x+y）=f（x）f（y）有c=c2，即有c=0或c=1，故②错；
对于③，由于存在x0，使得f（x0）=0，则有x∈R，f（x）=f（x-x0）f（x0）=0，故③对；
对于④，由于存在x0，使得f（x0）≠0，又f（x）=f2（x2）≥0，
则若存在x02，使得f（x02）=0，即有f（x0）=0，由③知，即f（x）=0，这与f（x）≥0矛盾，类比指数函数，
故④对．
故答案为：①③④