Question

已知抛物线y=x的平方-2x+m-1与x轴只有一个交点，且与y轴交于点A，设它的顶点为点B

问：（1）求m的借。（2）过A作x轴的平行线，交抛物线于点C，求证三角形ABC是等腰直角三角形。（3）将此抛物线向下平移4个单位后，得到另一条抛物线，且与x轴的左半轴交于E点，与y轴交于F点，请在该抛物线上求点P，使得三角形EFP是以EF为直角边的直角三角形

Answer 1

我来回答 （1）∵ 抛物线y = x2－2x + m－1与x轴只有一个交点，∴ △=（－2）2－4×1×（m－1）= 0，解得 m = 2．
（2）由（1）知抛物线的解析式为 y = x2－2x + 1，易得顶点B（1，0），当 x = 0时，y = 1，得A（0，1）．
由 1 = x2－2x + 1 解得 x = 0（舍），或 x = 2，所以C（2，1）．
过C作x轴的垂线，垂足为D，则 CD = 1，BD = xD－xB = 1．
∴ 在Rt△CDB中，∠CBD = 45°，BC = ．
同理，在Rt△AOB中，AO = OB = 1，于是 ∠ABO = 45°，AB = ．
∴ ∠ABC = 180°－∠CBD－∠ABO = 90°，AB = BC，因此△ABC是等腰直角三角形．
（3）由题知，抛物线C′ 的解析式为y = x2－2x －3，当 x = 0时，y =－3；当y = 0时，x =－1，或x = 3，
∴ E（－1，0），F（0，－3），即 OE = 1，OF = 3．
① 若以E点为直角顶点，设此时满足条件的点为P1（x1，y1），作P1M⊥x轴于M．
∵ ∠P1EM +∠OEF =∠EFO +∠OEF = 90°，
∴ ∠P1EM =∠EFO，得 Rt△EFO∽Rt△P1EM，于是 ，即EM = 3 P1M．
∵ EM = x1 + 1，P1M = y1，∴ x1 + 1 = 3 y1． （*）
由于P1（x1，y1）在抛物线C′ 上，有 3（x12－2x1－3）= x1 + 1，
整理得 3x12－7x1－10 = 0，解得 x1 =－1（舍），或 ．
把 代人（*）中可解得 ． ∴ P1（ ， ）．
② 若以F点为直角顶点，设此时满足条件的点为P2（x2，y2），作P2N⊥与y轴于N．
同①，易知 Rt△EFO∽Rt△FP2N，得 ，即P2N = 3 FN．
∵ P2N = x2，FN = 3 + y2，∴ x2 = 3（3 + y2）． （**）
由于P2（x2，y2）在抛物线C′ 上，有 x2 = 3（3 + x22－2x2－3），
整理得 3x22－7x2 = 0，解得 x2 = 0（舍），或 ．
把 代人（**）中可解得 ． ∴ P2（ ， ）．
综上所述，满足条件的P点的坐标为（ ， ）或（ ， ）．

Answer 2

(3)不会做请帮解释一下