Question

高一数学！急求！

在△ABC中 ∠A∠B∠C所对的边分别为abc且a,b,3c成等比数列 ∠A-∠C=π/2 试求∠A、B、C的值！

谢谢！

Answer 1

在△ABC中 ∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，且a，b，3c成等比数列 ∠A-∠C=π/2 试求∠A、B、C的值！
解：∵a，b，3c成等比数列，∴b²=3ac，即有sin²B=3sinAsinC，又sinB=sin(A+C)，A-C=π/2，
故得：sin²(A+C)=sin²(π/2+C)=cos²C=3sin(π/2+C)sinC=3cosCsinC，由于C≠π/2，故可消去cosC,
于是得cosC=3sinC；即有tanC=1/3，C=arctan(1/3)=18.4349°；A=π/2+C=π/2+arctan(1/3)=90°+18.4349°=108.4349°；
B=π-(A+C)=π-[π/2+2arctan(1/3)=π/2-2arctan(1/3)=90°-2×18.4349°=53.1302°.

Answer 2

解：
因为a,b,3c成等比数列 所以b^2=3ac 根据正弦定理得 (sinB)^2=3sinAsinC 又∠A-∠C=π/2
所以(1/2)(1-cos2B)=3cosCsinC
1-cos2B=3sin2C
因A+B+C=π所以B= π/2-2C 即2B=π-4C
1+cos4C=3sin2C 化简得 2(sin2C)^2+3sin2C-2=0 解得 sin2C=1/2 所以C=π/12 或C=5π/12(不符合题意舍去) A=7π/12 B=π/3