Question

三角函数问题，若0<α<π/2，-π/2<β<0，cos(π/4+α）=1/3……

若0<α<π/2，-π/2<β<0，cos(π/4+α）=1/3，cos(π/4-β/2）=根号3/3，则cos(α+β/2)=？ 详细一点，为什么sin(π/4+α）=2√2/3，sin(π/4-β/2）=√ 6/3

Answer 1

∵
0
<α<π/2,
∴
π/4
<π/4+α<3π/4
(在第二象限内)∴
sin(π/4+α）>
0
而
sin(π/4+α）=
√[1
-
cos²(π/4+α）]
=
√[1
-
(1/3)²]
=
√(8/9)
=
2√2/3
∵-π/2<β<0,
∴
π/4
<π/4-β/2
<π/2
(在第一象限内)∴
sin(π/4-β/2）>0
而
sin(π/4-β/2）=
√[1
-
cos²(π/4-β/2）]
=
√[1
-
(√3/3)²]
=
√(6/9)
=
√6/3
cos(α+β/2)
=
cos[(π/4+α)
-
(π/4-β/2)]
=
cos(π/4+α)cos(π/4-β/2)
+
sin(π/4+α)sin(π/4-β/2)
=
(1/3)*(√3/3)
+
(2√2/3)*(√6/3)
=
5√3/9

Answer 2

证明：
因为3sinβ=sin(2α+β)
所以，3[sin(α+β)-α]=sin[(α+β)+α]
所以，3sin(α+β)cosα-3cos(α+β)sinα=sin(α+β)cosα+cos(α+β)sinα
所以，2sin(α+β)cosα=4cos(α+β)sinα
所以，sin(α+β)cosα=2cos(α+β)sinα
因为cosα≠0，cos(α+β)≠0
所以，sin(α+β)÷cos(α+β)=2sinα÷cosα
所以，tan(α+β)=2tanα