Question

请问大家，证明线线垂直和平行，线面垂直和平行，面面垂直和平行的常用方法有哪些呢？谢谢大家！！

请说的尽量详细一点，谢谢！

Answer 1

1.
线线平行

判定：
a
用向量，方向向量平行
b
一条直线平行于另一个平面，则它平行于它所在平面与那
个平面的交线。
C
若一平面与两平行平面相交，则两交线平行。
D
同时与一平面垂直的两直
线平行。
E
同时平行于一条直线的两直线平行。

性质：貌似没啥性质，一般是证明线面关系的时候先证明线线关系。

2.
线线垂直

判定：
a
向量，方向向量垂直
b
直线垂直于平面，则直线与平面中的任意直线都垂直
c
第一
条直线与第二条直线平行，
第一条垂直于第三条，
则第二条也垂直于第三条
d
把两直线放在
一个平面中，利用平面几何各种判定方法，如等腰三角形的底和高等。
E
（重点）三垂线定
理：
平面内的一条直线，
如果和过平面的一条斜线在平面内的射影垂直，
那么它就和这条斜
线垂直。
三垂线逆定理：
在平面内的一条直线，
如果和过平面的一条斜线垂直，
那么它也垂
直于斜线在平面内的射影。
（这个比较重要，记不住的话找一下例题，多看看图就好了）

性质：
貌似也没什么性质，
一般也是要证明线面关系的时候用到它。
注意：
第一条直线垂直
于第二条直线，
第一条直线垂直于第三条直线，
则第二条直线与第三条直线可垂直可平行也
可普通相交。

3,
线面平行

判定：
a
面外一条线与面内一条线平行。
（常用）
b
空间向量法，
证明线一平行向量与面内一
向量
（
x1x2-y1y2=0
）
（常用）
c
面外一直线上不同两点到面的距离相等
d
证明线面无交点
（定
义）
e
反证法（线与面相交，再推翻）

性质：
平面外一条直线与此平面平行，
则过这条直线的任意平面与此平面的交线与该直线平
行。

4.
线面垂直

判定
:a
一条线和平面内两条相交直线都垂直
,
那么这条直线和这个平面垂直
b
两个平面垂直
,
其中一个平面内的直线垂直两平面的交线，
那么这条直线和这个平面垂直
c
直线的方向向量
与平面的法向量平行

性质：如果两条直线同时垂直一个平面，那么这两条直线平行。

5.
面面平行

判定
a
一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行
,
则这两个平面平行。
（常用）
b
如
果两平面同时垂直于一条直线，则两平面平行（大题一般不用）

性质：
a
两个平面平行，
在一个平面内的任意一条直线平行于另外一个平面
b
两个平面平行，
和一个平面垂直的直线必垂直于另外一个平面
c
两个平行平面，
分别和第三个平面相交，
交
线平行
d
平行平面所截的线段对应成比例
（这个是推论，
不好描述，
书上或练习册上应该有
类似的题）

6.
面面垂直

判定：一个面如果过另外一个面的垂线，那么这两个面相互垂直

性质：
a
如果两个平面
垂直，那么在一个平面内
垂直于它们交线的直线
垂直于另一个
平面。
b
如果两个平面垂直，那么经
过第一个平面内的一点垂直于第
二个平面的直线
在第一个平面
内。
C
如果两个
相交平面都垂直于第三个平面，那么它
们的交线垂直于
第三个平面。
D
三
个两两垂直的平面的交线两两垂
直。