Question

已知函数y=f（x）= lnx x ．（1）求函数y=f（x）的图象在x= 1 e 处的切线方程；（

已知函数y=f（x）= lnx x ．（1）求函数y=f（x）的图象在x= 1 e 处的切线方程；（2）求y=f（x）的最大值；（3）设实数a＞0，求函数F（x）=af（x）在[a，2a]上的最小值．

Answer 1

（1）∵f（x）定义域为（0，+∞），∴f′（x）= 1-lnx x 2 ∵f（ 1 e ）=-e，又∵k=f′（ 1 e ）=2e 2 ， ∴函数y=f（x）的在x=处的切线方程为： y+e=2e 2 （x- 1 e ），即y=2e 2 x-3e． （2）令f′（x）=0得x=e． ∵当x∈（0，e）时，f′（x）＞0，f（x）在（0，e）上为增函数， 当x∈（e，+∞）时，f′（x）＜0，则在（e，+∞）上为减函数， ∴f max （x）=f（e）= 1 e ． （3）∵a＞0，由（2）知： F（x）在（0，e）上单调递增，在（e，+∞）上单调递减． ∴F（x）在[a，2a]上的最小值f（x） min =min{F（a），F（2a）}， ∵F（a）-F（2a）= 1 2 ln a 2 ， ∴当0＜a≤2时，F（a）-F（2a）≤0，f min （x）=F（a）=lna． 当a＞2时，F（a）-F（2a）＞0，f（x） min =f（2a）= 1 2 ln2a．