Question

如图所示,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F 1 、F 2 ,线段OF 1 、OF 2 的中

如图所示,设椭圆的中心为原点O,长轴在x轴上,上顶点为A,左、右焦点分别为F 1 、F 2 ,线段OF 1 、OF 2 的中点分别为B 1 、B 2 ,且△AB 1 B 2 是面积为4的直角三角形. (1)求该椭圆的离心率和标准方程;(2)过B 1 作直线交椭圆于P、Q两点,使PB 2 ⊥QB 2 ,求△PB 2 Q的面积.

Answer 1

(1) + =1      (2)

解:(1)设椭圆的标准方程为 + =1(a>b>0),焦距为2c,则A(0,b),|OB 1 |=|OB 2 |= . 由 =4得 ·c·b=4, 即bc=8.① 又△AB 1 B 2 是直角三角形, 且|OB 1 |=|OB 2 |,∴b= .② 由①②可得b=2,c=4. ∴a 2 =20. ∴椭圆的标准方程为 + =1,离心率e= = . (2)由(1)知B 1 (-2,0),B 2 (2,0). 由题意知,直线PQ的倾斜角不为0, 故可设直线PQ的方程为x=my-2. 代入椭圆方程得(m 2 +5)y 2 -4my-16=0.(*) 设P 1 (x 1 ,y 1 ),P 2 (x 2 ,y 2 ), 则y 1 ,y 2 是方程(*)的两根. ∴y 1 +y 2 = ,y 1 ·y 2 =- . 又 =(x 1 -2,y 1 ), =(x 2 -2,y 2 ). ∴ · =(x 1 -2)(x 2 -2)+y 1 y 2 =(my 1 -4)(my 2 -4)+y 1 y 2 =(m 2 +1)y 1 y 2 -4m(y 1 +y 2 )+16 =- - +16 =- . 由PB 2 ⊥B 2 Q知 · =0, 即- =0, 16m 2 -64=0,解得m=±2. 当m=2时,y 1 +y 2 = ,y 1 y 2 =- , |y 1 -y 2 |= = . = |B 1 B 2 |·|y 1 -y 2 |= . 当m=-2时,由椭圆的对称性可得 = . 综上所述,△PB 2 Q的面积为 .