Question

如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，4），C（2，0），将矩形OABC绕点O按顺时针方向

如图，矩形OABC在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A（0，4），C（2，0），将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转1800，得到矩形OEFG，顺次连接AC、CE、EG、GA．（1）请直接写出点F的坐标；（2）试判断四边形ACEG的形状，并说明理由；（3）将矩形OABC沿y轴向下平移m个单位（0＜m＜4），设平移过程中矩形与△AEC重叠部分面积为S1，当S1：S△AEC=11：16时，求m的值．

Answer 1

（1）∵A（0，4），C（2，0），将矩形OABC绕点O按顺时针方向旋转180⁰，得到矩形OEFG，
∴BC=FG=4，OC=AB=OG=2，
∴F（-2，-4）；

（2）四边形ACEG是菱形，
理由：根据题意得：OA=OE，OC=OG，
∴四边形ACEG是平行四边形，
又∵AE⊥GC
∴四边形ACEG是菱形；

（3）如图，将矩形OABC沿y轴向下平移m个单位得到矩形O′A′B′C′，
则当S₁：S_△AEC=11：16时，重叠部分为五边形MCNO′A′，
∵S₁：S_△AEC=11：16，
∴S△AAM′+S△EON′＝

5

16

S△AEC＝

5

16

×8＝

5

2

，
∵A′B′∥GC，
∴△AA′M∽△AOC，
∴

AA′

A′M

＝

AO

OC

＝2，
∴A′M＝

1

2

AA′＝

1

2

m，
∴S△AAM′＝

1

2

×

1

2

m×m＝

1

4

m2，
同理可得：S△EO′N＝

1

4

(4?m)2，
∴

1

4

m2+

1

4

(4?m)2＝

5

2

，
解得：m=1或m=3．