Question

已知：a1＜a2＜a3，b1＜b2＜b3，a1+a2+a3=b1+b2+b3，a1a2+a1a3+a2a3=b1b2+b1b3+b2b3且a1＜b1，有下列四个

已知：a1＜a2＜a3，b1＜b2＜b3，a1+a2+a3=b1+b2+b3，a1a2+a1a3+a2a3=b1b2+b1b3+b2b3且a1＜b1，有下列四个命题（1）b2＜a2； （2）a3＜b3； （3）a1a2a3＜b1b2b3； （4）（1-a1）（1-a2）（1-a3）＞（1-b1）（1-b2）（1-b3）．其中真命题个数为（　　）A．1B．2C．3D．4

Answer 1

设 b₁-a₁=t₁，b₂-a₂=t₂，b₃-a₃=t₃，由条件1，可得 t₁+t₂+t₃=0．
因已知 a₁＜b₁ ，则t₁＞0，且t₂、t₃中至少有一个小于零．
则可根据此在一维坐标上作点，设原点为0，右向为x轴正向，则t₁处于0点右侧，此时，t₂ 、t₃点的位置有三种情况，分别为：
①t₂处于0点右侧，t₃处于0点左侧，则|t₃|=-t₃=t₁+t₂＞0；
②t₃点处于0点右侧，t₂ 处于0点左侧，则|t₂|=-t₂=t₁+t₃＞0；
③t₂点与t₃点同时处于0点左侧，则|t₁|=t₁=|t₂+t₃|=-t₂+t₃＞0；
结合题目中所给出的条件，可得 a₁²+a₂²+a₃²=b₁²+b₂²+b₃²，对上式进行处理得：（ a₁+b₁）t₁+（a₂+b₂）t₂+（a₃+b₃）t₃=0．
由已知条件1可得：a₁+b₁＜a₂+b₂＜a₃+b₃．
结合前述的一维图可判断出只有第  ②情况才符合，即：t₃点处于0点右侧，t₂ 处于0点左侧，t₁＞0，t₂＜0，t₃＞0．
因此，可得出 b₂＜a₂，a₃＜b₃ ．
再对题目的（3）、（4）选项分析，可得出，（3）、（4）选项是等价的． 因此我们只需要判断第（3）选项是否正确即可．
判断方法：将b₁-a₁=t₁，b₂-a₂=t₂，b₃-a₃=t₃代入题目条件，化简即可得出 a₁a₂a₃＜b₁b₂b₃，故选项（3）为真命题．
总结：此题目真命题为（1）、（2）、（3）、（4）．
故选D．