Question

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an-n（其中n∈N*）．（1）求证：数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的

已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn=2an-n（其中n∈N*）．（1）求证：数列{an+1}是等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）若bn=log2(an+1)2n，且Tn=b1+b2+b3+…+bn，求Tn．

Answer 1

（1）∵S_n=2a_n-n，n∈N^*．①
∴S_n+1=2a_n+1-（n+1），②
②-①得a_n+1=2a_n+1，整理得a_n+1+1=2（a_n+1）．
又S₁=2a₁-1，得a₁=1
故{a_n+1}是以2为首项，2为公比的等比数列，
所以a_n+1=2ⁿ，即a_n=2ⁿ-1，
（2）b_n=

log2(an+1)

2n

=

n

2n

．
所以T_n=

1

2

+

2

22

+

3

23

+…+

n

2n

    ③

1

2

T_n=

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n

2n+1

   ④
③-④得

1

2

T_n=

1

2

+

1

22

+

2

23

+

3

24

+…+

n?1

2n

?

n

2n+1

=

1 2 ×(1? 1 2n )

1? 1 2

?

n

2n+1

∴T_n=2-

n+2

2n