Question

如图，在等边△ABC中，AB=6，N为线段AB上的任意一点，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM、M

如图，在等边△ABC中，AB=6，N为线段AB上的任意一点，∠BAC的平分线交BC于点D，M是AD上的动点，连结BM、MN，则BM+MN的最小值是3333．

Answer 1

解答：解：过C作CN⊥AB于N，交AD于M，连接BM，则BM+MN最小（根据两点之间线段最短；点到直线垂直距离最短），由于C和B关于AD对称，则BM+MN=CN，
∵等边△ABC中，AD平分∠CAB，
∴AD⊥BC，
∴AD是BC的垂直平分线（三线合一），
∴C和B关于直线AD对称，
∴CM=BM，
即BM+MN=CM+MN=CN，
∵CN⊥AB，
∴∠CNB=90°，CN是∠ACB的平分线，AN=BN（三线合一），
∵∠ACB=60°，
∴∠BCN=30°，
∵AB=6，
∴BN=

1

2

AB=3，
在△BCN中，由勾股定理得：CN=

BC2?BN2

=

62?32

=3

3

，即BM+MN的最小值是3

3

．
故答案为3

3

．

Answer 2

做N点在AC上的对称点N'
连接BN＇为BM+MN的最小值