Question

求证黄金三角形题目如图第二问急！

Answer 1

1) A=36° ==> ∠C=72 ;
AB的垂直平分线DP交AC于点P==>△ADP全等△BDP
==>AP=BP, ∠A=∠DBP, ∠APD=∠BPD=54.
∠APD=∠BPD=54 ==> ∠DBP = 36 ==> ∠PBC=36 ==> ∠BPC=72.
∠A= ∠PBC, ∠C=∠C, ∠ABC=∠BPC==> △ABC相似△BPC
(2)
X^2+x-1=0 ==> m = (√5-1)/2 n=(-√5-1)/2
由(1)==> AP=BP=BC.
PC/BC=BC/AC==>BC^2=AC*PC=AP^2
AC=AP+PC ==>(AP+PC) *PC=AP^2==>PC^2+PC*AP-AP^2=0
解方程: PC = AP*(√5-1)/2=AP*m
==> △BPC是黄金三角形

追问

复制的？能解释吗

追答

由正弦定理：BP/sinC=BC/sinBPC,
BC/BP=sin36°/sin72°=1/2cos36°=0.618
m=（√5-1）/2=0.618
命题成立

追问

这是高中知识吗？

追答

不知道现在是什么时候的知识了，反正我那时候是初中学的

追问

初中现在只有tan30.45.60cos30.45.60sin30.45.60 有其他证法吗？

追答

1，先解方程：
X^2+x-1=0

得出两个根：
m = (√5-1)/2
n=(-√5-1)/2

追问

没问题

追答

2，由（1）三角形相似，可知道：AP=BP=BC
可得：PC/BC=BC/AC
变形，BC^2=AC*PC=AP^2

3，AC=AP+PC

(AP+PC) *PC=AP^2

PC^2+PC*AP-AP^2=0

现在解这个以PC为未知数的方程：PC^2+PC*AP-AP^2=0，得：

PC = AP*(√5-1)/2=AP*m

即，PC/AP=m
所以是黄金三角型
这些完全是初中知识了；

追问

BC^2=AC*PC=AP^2是怎么变来的 …

追答

PC/BC=BC/AC

BC*BC=AC*PC（比例的性质）

又因为AP=BP=BC

BC^2=AP^2
即，AC*PC=AP^2