Question

设二维随机变量（X，Y）的联合概率密度为f（X,Y)={Ae^-（2x+3y)x>0,y>0，0其他）求常数A，判断独立性.

Answer 1

f(x,y)=Ae^(-2x-3y),x>0,y>0
∫∫f(x,y)dxdy=1,
∫∫f(x,y)dxdy=A∫e^(-2x)dx∫e^(-3y)dy=A*[-2e^(-2x)]|(0,+无穷）*[-3e^(-3y)]|(0,+无穷）=A/6=1
,可得A=6
f(x)=2e^(-2x),x>0
f(y)=3e^(-3y),y>0
f(x,y)=f(x)*f(y),所以X,Y相互独立
F(x,y)=F(x)*F(y),x>0,y>0
F(x,y)=[1-e^(-2x)]*[1-e^(-3y)],x>0,y>0
F(x,y)=0,x,y取其他值