Question

已知,如图,△ABC是等边三角形,点D在边BC上,且△ADE是等边三角形,过点E作EF∥BC,EF分别与线段AB,AC,AD相交

已知,如图,△ABC是等边三角形,点D在边BC上,且△ADE是等边三角形,过点E作EF∥BC,EF分别与线段AB,AC,AD相交于点F,G,H,连接CE
求证：四边形BCEF是平行四边形
如果AD⊥BC，求证BC=2FG

Answer 1

证明：△ABC,△ADE是等边三角形，得 AB=AC，AD=AE
由∠BAD+∠CAD=∠CAD+∠CAE=60°，得 ∠BAD=∠CAE
∴ △ABD≌△ACE 则 ∠ACE=∠ABD=60°
∴ ∠ABC+∠BCA+∠ACE=60°+60°+60°=180°
则 AB//CE(同旁内角互补，两直线平行) 且 EF∥BC(已知)
故 四边形BCEF是平行四边形(两组对边平行的四边形是平行四边形)
证明：BC=EF=FG+GE，CD=BD(等腰三角形三线合一)，BD=CE(△ABD≌△ACE可得)
四边形BCEF是平行四边形，得 ∠CEG= ∠ABC=60°=∠ACE 即△CEG为正△
∴ CE=GE 故 BC=2FG

Answer 2

∵⊿ABC和⊿ADE是等边三角形，
∴AB＝AC，AD＝AE。
∠B＝∠BAC＝∠DAE＝60º，
∴∠BAD＝∠CAE
∴⊿ABD≌⊿ACE；
∴∠ACE＝∠B＝60º＝∠BAC，
∴AB∥EC，
又FE∥BC，
∴四边形BCEF是平行四边形。
如果AD⊥BC，
那么EF垂直平分AD，
从而FG为⊿ABC的中位线，
∴FG＝1/2BC，
即 。BC=2FG

Answer 3

简单可证三角形ABD与ACE全等，角ACE为60度，则角BCF为120度，同旁内角可证，BF//CE，可证平行四边形。
BD=DC，BD=EC，BD=EF，BF=1/2AB,中位线，故BC=2FG

Answer 4

（1）、如果AD⊥BC
——》∠DAC=∠EAC=30°，AD=AE,AC=AC
——》△DAC≌△EAC，
——》CE=CD=BC/2，∠ACD=∠ACE=60°
——》∠BCE=120°
——》CE∥AB，EF∥BC
——》BCEF为平行四边形
——》BF=CE=BC/2=AB/2=AF
FG∥BC——》△AFG为等边三角形
——》FG=AF=BC/2
——》BC=2FG。