Question

如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧面PAD⊥底面ABCD,PA=PD=根号2/2AD

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是正方形，侧面PAD⊥底面ABCD，且PA=PD=（根号2 ）/2 AD，若E、F分别为PC、BD的中点．
（Ⅰ） 求证：EF∥平面PAD；
（Ⅱ） 求证：EF⊥平面PDC．

Answer 1

证明：

定理1.平面α外的一条直线L1如果与平面内的一条直线L2平行，则L1∥α;

定理2.如果一个平面经过另一平面的一条垂线，则这两个平面垂直；

定理3. 两平面互相垂直，在一个平面内垂直于交线的直线垂直另一个平面。

（为证明本题而写，与原定理可能有文字上的出入）

(1)连接EF，

∵点E是PC中点,F是AC中点,即EF是三角形PAC的中位线，

∴EF∥PA.

又PA在平面PAD内，EF在平面PAD外，

∴EF∥平面PAD。

(1) ∵ PA=PD=(√2 ）/2 AD，

∴△PAD是直角等腰三角形，∠APD是直角，AP⊥PD;

∵侧面PAD⊥底面ABCD，CD⊥AD,

∴CD⊥平面PAD(定理3)。

∴平面PCD⊥平面PAD（定理2）,又PA⊥PD,所以PA⊥平面PDC(定理2).

∵EF∥PA,

∴EF⊥平面PDC.

Answer 2

连接AC，由于F为BD中点，可知线段AC过F点，且F也是AC中点。
EF是三角形PAC两边中点，于是可证平行于第三边。即证得EF∥PA，所以EF∥平面PAD；

由题意，易得三角形PAD是等腰直角，有PA⊥PD，

侧面PAD⊥底面ABCD，又CD⊥AD，所以有CD⊥PA

所以PA⊥平面PDC．

前面一题证得EF∥PA
所以有EF⊥平面PDC