Question

如图,AB,BC,CD分别于圆O相切于E,F,G,且AB平行于CD,OB于EF相交于M,OC与FG相交于N

如图，AB，BC，CD分别与⊙O相切于点E，F，G，且AB∥CD．OB与EF相交于点M，OC与FG相交于点N，连接MN．（1）求证：OB⊥OC；（2）若OB=6，OC=8，求MN的长．

Answer 1

1、
连接OE、OF、OG
∵AB,BC,CD分别与圆O切于点E,F,G,
∴BE=BF，CG=CF
∵OE=OF，OF=OG
OB=OB，OC=OC
∴△BOE≌△BOF，△COF≌△COG
∴∠EBO=∠FBO，∠GCO=∠FCO
∵AB∥CD
∴∠ABC+∠DCB=180°
∴1/2(∠ABC+∠DCB)=90°
即∠FBO+∠FCO=90°
∴∠BOC=90°
∴BO⊥OC

2、
∵MN‖OB
∴∠NMO=∠MOB=∠BOC=90°
∴MN是圆O的切线
∵∠BOC=90°
∴BC=√（36+64）=10.
∵△OBF∽△CBO
∵OF×BC=OB×OC
∴半径OF=48/10=4.8
∵∠FCO=∠NCM, ∠OFC=∠NMC
∴△CMN∽△COF
∵NM,NG均是圆O的切线
∴NM=NG
设NM=NG=X, 由△CMN∽△COF 得MN:OF=CN:CF
又CG=CF=√（OC²-OF²）=6.4
∴CN=6.4+X
故:X:4.8=(6.4+X):6.4
得MN=X=19.2

追问

谢谢你啦虽然第二问是错的

追答

（2）连接OF，
∵BA，BC为⊙O的切线，
∴BE=BF，BO平分∠ABC，
∴BM⊥EF，
即∠OMF=90°，
同理：∠ONF=90°，
∴四边形ONFM是矩形，
∴MN=OF，
在Rt△OBC中，OB=6，OC=8，BC2=OB2+OC2，
∴BC=10，
∵BC切圆于点F，
∴OF⊥BC，
∴△OFC∽△BOC，
∴OF/BO=OC/BC
∴OF=4.8，
∴MN=4.8．