Question

求做《初等数论》 作业，100分高分奖励，答题完整追再加分数。

Answer 1

一

1. 0,1,2,3,4,5,6。

2. 简化。

3. x≡4(mod 5)。

4. x=2ab，y=a²-b²，z=a²+b²，其中a和b互素。

二

设(a-b,a+b)=c，则c|(a-b)，c|(a+b)，所以c|(a-b)+(a+b)=2a，同理c|(a+b)-(a-b)=2b，

所以c|2a，同时c|2b，所以c|(2a,2b)=2(a,b)=2，所以c|2，所以c=1或者2，证毕。

三

逐一试验，n≡1 (mod 3)时，n²+n+1≡0 (mod 3)；n≡2 (mod 3)时，n²+n+1≡1 (mod 3)；n≡0 (mod 3)时，n²+n+1≡1 (mod 3)，结论均成立。

四

(p-1)/2 ! 的平方

≡1 x 2 x 3 ... x (p-1)/2 x      (p-1)/2    x    (p-3)/2      x ... x       1

≡1 x 2 x 3 ... x (p-1)/2 x (-1)x(p+1)/2 x (-1)x(p+3)/2 x ... x (-1)x(p-1)

≡(p-1)! x (-1)^((p-1)/2)

（因为 p≡1 (mod 4)，所以(p-1)/2是偶数）

≡(p-1)!  (mod p)，

而(p-1)!+1≡0 (mod p) 是著名的威尔逊（Wilson）定理，网上有大量证明，我就不证了。