Question

如图,以AB为直径的半圆O交AC于点D,且点D为AC的中点,DE垂直BC于点E,AE交半圆O于点F,BF的延长线交DE于点G

(1)求证：DE为半圆O的切线 （2）若GE=1 ，BF=3/2，求EF的长

Answer 1

⑴连接BD，
∵AB是直径，∴BD⊥AC，
∵D为AC的中点，∴BD垂直平分AC，∴AB=BC，
连接OD，OD是ΔABC的中位线，∴OD∥BC，
∵DE⊥BC，∴DE⊥OD，
∴DE是⊙O的切线。
⑵∵AB为直径，∴EF⊥BG，
∵DE⊥BE，∴RTΔEGF∽RTΔBGE，
∴GE/GB=GF/GE，
1/(GF+3/2)=GF/1，GF^2+3/2GF=1，2GF^2+3GF-2=0，(GF-1)(GF+2)=0，
∴GF=1，
∴EF=√(GF^2+GE^2)=√2。