Question

已知：如图，AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F． （1）求证：

已知：如图，AB为⊙O的直径，AB⊥AC，BC交⊙O于D，E是AC的中点，ED与AB的延长线相交于点F． （1）求证：DE为⊙O的切线．（2）求证：AB：AC=BF：DF．

Answer 1

证明：（1）连接DO、DA， ∵AB为⊙O直径，∴∠CDA=∠BDA=90°。 ∵CE=EA，∴DE=EA。∴∠1=∠4。 ∵OD=OA，∴∠2=∠3。 ∵∠4+∠3=90°，∴∠1+∠2=90°，即：∠EDO=90°。 ∴DE⊥OD。 ∵OD是半径，∴DE为⊙O的切线。 （2）∵∠3+∠DBA=90°，∠3+∠4=90°， ∴∠4=∠DBA。 ∵∠CDA=∠BDA=90°，∴△ABD∽△CAD。 ∴ 。 ∵∠FDB+∠BDO=90°，∠DBO+∠3=90°， 又∵OD=OB，∴∠BDO=∠DBO。∴∠3=∠FDB。 ∵∠F=∠F，∴△FAD∽△FDB。∴ 。 ∴ ，即AB：AC=BF：DF。

试题分析：（1）连接OD、AD，求出CDA=∠BDA=90°，求出∠1=∠4，∠2=∠3，推出∠4+∠3=∠1+∠2=90°，根据切线的判定推出即可； （2）证△ABD∽△CAD，刘 ，证△FAD∽△FDB，得 ，即可得出AB：AC=BF：DF。