Question

如图所示，四边形ABCD的四个顶点在⊙O上，AC，BD是对角线，且AC⊥BD，OE⊥BC于E，探索：OE与AD的数量关系

如图所示，四边形ABCD的四个顶点在⊙O上，AC，BD是对角线，且AC⊥BD，OE⊥BC于E，探索：OE与AD的数量关系．

Answer 1

答：OE= 1 2 AD． 证明：连CO延长交⊙O于P，连接BP． 则∠CBP=90°； ∵OE⊥BC，由垂径定理，得BE=EC； 又∵BE=EC，PO=OC， ∴OE是△PBC的中位线， ∴OE= 1 2 BP； ∵∠1=∠2，∠PBD=90°-∠1，∠ADB=90°-∠2， ∴∠PBD=∠ADB， PD = AB ； ∴ PB = AD ； 故BP=AD，即OE= 1 2 BP= 1 2 AD．