Question

为什么向量组个数大于维数一定线性相关？

Answer 1

个数大于维数，顶多推出它们构成的矩阵列数大于行数，此时，对应的齐次线性方程组有非零解，所以线性相关。

抽象情况下，维数的标准定义是最大线性无关向量组的大小。这里的维数应该指的是的，即向量作为一个tuple的长度。

只考虑的情况，因此要证明的维度(最大线性无关向量组的大小)就是n。

显然，我们已经有一个标准基底。因此任意个矢量都可用标准基底唯一线性表示。假设这个矢量是线性无关的，即不存在不全为零的使得。

相关定理：

对于任一向量组而言，不是线性无关的就是线性相关的。

向量组只包含一个向量a时，a为0向量，则说A线性相关；若a≠0，则说A线性无关。

包含零向量的任何向量组是线性相关的。

含有相同向量的向量组必线性相关。

增加向量的个数，不改变向量的相关性。

减少向量的个数，不改变向量的无关性。

一个向量组线性无关，则在相同位置处都增加一个分量后得到的新向量组仍线性无关。

一个向量组线性相关，则在相同位置处都去掉一个分量后得到的新向量组仍线性相关。