Question

e^x-1~x (x→0)如何证明等价无穷小？

Answer 1

令y=e^x-1，两边取对数，则有x=ln(y+1)

lim(x→0)e^x-1 / x

=lim(y→0)y / ln(y+1)

=1 / lim(y→0)ln(y+1)/y

=1 / lim(y→0)ln(y+1)^1/y

=1 / 1

=1

证明：lim(y→0)ln(y+1)^1/y=e

等价无穷小是无穷小之间的一种关系，指的是：在同一自变量的趋向过程中，若两个无穷小之比的极限为1，则称这两个无穷小是等价的。无穷小等价关系刻画的是两个无穷小趋向于零的速度是相等的。