Question

已知定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x）满足：①?x，y∈（-∞，0）∪（0，+∞），f（x?y）=f（x

已知定义在（-∞，0）∪（0，+∞）上的函数f（x）满足：①?x，y∈（-∞，0）∪（0，+∞），f（x?y）=f（x）+f（y）；②当x＞1时，f（x＞0），且f（2）=1．（1）试判断函数f（x）的奇偶性；（2）判断函数f（x）在（0，+∞）上的单调性；（3）求函数f（x）在区间[-4，0）∪（0，4]上的最大值；（4）求不等式f（3x-2）+f（x）≥4的解集．

Answer 1

（1）令x=y=1，则f（1×1）=f（1）+f（1），得f（1）=0； 再令x=y=-1，则f[（-1）×（-1）]=f（-1）+f（-1），得f（-1）=0． 对于条件f（x?y）=f（x）+f（y），令y=-1， 则f（-x）=f（x）+f（-1），所以f（-x）=f（x）． 又函数f（x）的定义域关于原点对称，所以函数f（x）为偶函数．（3分） （2）任取x 1 ，x 2 ∈（0，+∞），且x 1 ＜x 2 ，则有 x 2 x 1 ＞1 ． 又∵当x＞1时，f（x）＞0， ∴ f( x 2 x 1 ＞0．) 而 f( x 2 )=f( x 1 ? x 2 x 1 )=f( x 1 )+f( x 2 x 1 )＞f( x 1 ) ， 所以函数f（x）在（0，+∞）上是增函数．（6分） （3）∵f（4）=f（2×2）=f（2）+f（2），又f（2）=1， ∴f（4）=2． 又由（1）知函数f（x）在区间[-4，0）∪（0，4]上是偶函数且在（0，4]上是增函数， ∴函数f（x）在区间[-4，0）∪（0，4]上的最大值为f（4）=f（-4）=2（9分） （4）∵f（3x-2）+f（x）=f[x（3x-2）]，4=2+2=f（4）+f（4）=f（16） ∴原不等式等价于f[x（3x-2）]≥f（16） 又函数f（x）为偶函数，且函数f（x）在（0，+∞）上是增函数， ∴原不等式又等价于|x（3x-2）|≥16， 即x（3x-2）≥16或x（3x-2）≤-16， ∴不等式f（3x-2）+f（x）≥4的解集为 {x|x≤-2，或x≥ 8 3 } （12分）