Question

如图所示，斜面倾角为θ，在斜面底端垂直斜面固定一挡板，轻质弹簧一端固定在挡板上，质量为M=1.0kg的木

如图所示，斜面倾角为θ，在斜面底端垂直斜面固定一挡板，轻质弹簧一端固定在挡板上，质量为M=1.0kg的木板与轻弹簧接触但不拴接，弹簧与斜面平行且为原长，在木板右上端放一质量为m=2.0kg的小金属块，金属块与木板间的动摩擦因数为μ1=0.75，木板与斜面粗糙部分间的动摩擦因数为μ2=0.25，系统处于静止状态．小金属块突然获得一个大小为v1=5.3m/s、方向平行斜面向下的速度，沿木板向下运动．当弹簧被压缩x=0.5m到P点时，金属块与木板刚好达到相对静止，且此后运动过程中，两者一直没有发生相对运动．设金属块从开始运动到与木块达到相同速度共用时间t=0.75s，之后木板压缩弹簧至最短，然后木板向上运动，弹簧弹开木板，弹簧始终处于弹性限度内，已知sin θ=0.28、cos θ=0.96，g取10m/s2，结果保留二位有效数字．（1）求木板开始运动瞬间的加速度；（2）求弹簧被压缩到P点时的弹性势能是多少？（3）假设木板在由P点压缩弹簧到弹回到P点过程中不受斜面摩擦力作用，木板离开弹簧后沿斜面向上滑行的距离？

Answer 1

解（1）对金属块，由牛顿第二定律可知加速度大小为
a=μ₁gcosθ-gsinθ=0.75×10×0.96-10×0.28m/s²=4.4m/s²，沿斜面向上
木板受到金属块的滑动摩擦力F₁=μ₁mgcosθ=0.75×2×10×0.96N=14.4N，沿斜面向下
木板受到斜面的滑动摩擦力
F₂=μ₂（M+m）gcosθ=0.25×（1+2）×10×0.96N=7.2N，沿斜面向上
木板开始运动瞬间的加速度a₀=

Mgsinθ+F1?F2

M

=

1×10×0.28+14.4?7.2

1

m/s2=10m/s²，沿斜面向下
（2）设金属块和木板达到共同速度为v₂，对金属块，应用速度公式有
v₂=v₁-at=5.3-4.4×0.75m/s=2.0m/s
在此过程中分析木板，设弹簧对木板做功为W，其余力做功为Ma₀x，
对木板运用动能定理得：Ma₀x+W=

1

2

Mv

2 2

解得W=-3.0J，说明此时弹簧的弹性势能E_p=3.0J
（3）金属块和木板达到共速后压缩弹簧，速度减小为0后反向弹回，设弹簧恢复原长时木板和金属块的速度为v₃，在此过程中对木板和金属块，由能量的转化和守恒得：
E_p-（F₂+Mgsinθ+mgsinθ）x=

1

2

（M+m）v

2 3

-

1

2

（M+m）v

2 2

木板离开弹簧后，设滑行距离为s，由动能定理得：
-（M+m）g（μ₂cosθ+sinθ）s=-

1

2

（M+m）v

2 3

联列可解得s=0.077m
答：（1）木板开始运动瞬间的加速度为10m/s²方向沿斜面向下；
（2）弹簧被压缩到P点时的弹性势能是3.0J；
（3）假设木板在由P点压缩弹簧到弹回到P点过程中不受斜面摩擦力作用，木板离开弹簧后沿斜面向上滑行的距离为0.077m．