已知函数f(x)＝2?xx?1+aln(x?1)（a∈R）．（1）若函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，试求实数a
已知函数f(x)＝2?xx?1+aln(x?1)（a∈R）．（1）若函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，试求实数a的取值范围；（2）当a=2时，求证：1?1x...
已知函数f(x)＝2?xx?1+aln(x?1)（a∈R）．（1）若函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，试求实数a的取值范围；（2）当a=2时，求证：1?1x?1＜2ln(x?1)＜2x?4（x＞2）；（3）求证：14+16+…+12n＜lnn＜1+12+…+1n?1（n∈N*且n≥2）．
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（1）因为f ′(x)＝
，若函数f（x）在区间[2，+∞）上是单调递增函数，则f′（x）≥0恒成立，即a≥
恒成立，所以a≥(
)max．
又x∈[2，+∞），则0＜
≤1，所以a≥1．
（2）当a=2时，由（Ⅰ）知函数f(x)＝
+2ln(x?1)在[2，+∞）上是增函数，
所以当x＞2时，f（x）＞f（2），即
+2ln(x?1)＞0，则2ln(x?1)＞
＝1?
．
令g（x）=2x-4-2ln（x-1），则有g′(x)＝2?
＝
，
当x∈（2，+∞）时，有g′（x）＞0，
因此g（x）=2x-4-2ln（x-1）在（2，+∞）上是增函数，所以有g（x）＞g（2）=0，
即可得到2x-4＞2ln（x-1）．
综上有1?
＜2ln(x?1)＜2x?4（x＞2）．
（3）在（2）的结论中令x?1＝
，则
＜2ln
＜2?
，
取t=1，2，…，n-1，（n∈N*，n≥2）时，得到（n-1）个不等式，将所得各不等式相加得，
+
+…+
＜2(ln
+ln
+…+ln
)＜2(1+
+…+
)，
所以
+
+…+
＜2lnn＜2(1+
+…+
)，
即
+
+…+
＜lnn＜1+
+…+
| a(x?1)?1 |
| (x?1)2 |
| 1 |
| x?1 |
| 1 |
| x?1 |
又x∈[2，+∞），则0＜
| 1 |
| x?1 |
（2）当a=2时，由（Ⅰ）知函数f(x)＝
| 2?x |
| x?1 |
所以当x＞2时，f（x）＞f（2），即
| 2?x |
| x?1 |
| x?2 |
| x?1 |
| 1 |
| x?1 |
令g（x）=2x-4-2ln（x-1），则有g′(x)＝2?
| 2 |
| x?1 |
| 2(x?2) |
| x?1 |
当x∈（2，+∞）时，有g′（x）＞0，
因此g（x）=2x-4-2ln（x-1）在（2，+∞）上是增函数，所以有g（x）＞g（2）=0，
即可得到2x-4＞2ln（x-1）．
综上有1?
| 1 |
| x?1 |
（3）在（2）的结论中令x?1＝
| t+1 |
| t |
| 1 |
| t+1 |
| t+1 |
| t |
| 1 |
| t |
取t=1，2，…，n-1，（n∈N*，n≥2）时，得到（n-1）个不等式，将所得各不等式相加得，
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 2 |
| n |
| n?1 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| n?1 |
所以
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 3 |
| 1 |
| n |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| n?1 |
即
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 6 |
| 1 |
| 2n |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| n?1 |
