Question

设常数a≥0，函数f（x）=2x+a2x?a．（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f-1（x）；（2）根据a的不同取

设常数a≥0，函数f（x）=2x+a2x?a．（1）若a=4，求函数y=f（x）的反函数y=f-1（x）；（2）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由．

Answer 1

（1）∵a=4，
∴f(x)＝

2x+4

2x?4

＝y
∴2x＝

4y+4

y?1

，
∴x＝log2

4y+4

y?1

，
∴调换x，y的位置可得y＝f?1(x)＝log2

4x+4

x?1

，x∈（-∞，-1）∪（1，+∞）．
（2）若f（x）为偶函数，则f（x）=f（-x）对任意x均成立，
∴

2x+a

2x?a

=

2?x+a

2?x?a

，整理可得a（2^x-2^-x）=0．
∵2^x-2^-x不恒为0，
∴a=0，此时f（x）=1，x∈R，满足条件；
若f（x）为奇函数，则f（x）=-f（-x）对任意x均成立，
∴

2x+a

2x?a

=-

2?x+a

2?x?a

，整理可得a²-1=0，
∴a=±1，
∵a≥0，
∴a=1，
此时f（x）=

2x+1

2x?1

，x≠0，满足条件；
综上所述，a=0时，f（x）是偶函数，a=1时，f（x）是奇函数．