Question

已知α，β是方程x2-x-1=0的两根，抛物线y=ax2+bx+c经过两点（α，β）（β，α），且a+b+c=1，求a，b，c

已知α，β是方程x2-x-1=0的两根，抛物线y=ax2+bx+c经过两点（α，β）（β，α），且a+b+c=1，求a，b，c的值．

Answer 1

因为抛物线y=ax²+bx+c经过两点（α，β）（β，α），
所以β=aα²+bα+c①，α=aβ²+bβ+c②，
①+②得，α+β=a（α²+β²）+b（α+β）+2c，
变形为：α+β=a（α²+β²+2αβ-2αβ）+b（α+β）+2c，即α+β=a（α+β）²-2a?αβ+b（α+β）+2c③，
α，β是方程x²-x-1=0的两根，
所以α+β=1，αβ=-1，代入③得1=a+2a+b+2c，即3a+b+2c=1，
①-②得β-α=a（α²-β²）+b（a-β）），
即a（α+β）+b=-1，即a+b=-1，由a+b+c=1，解得c=2，
又a+b+c=1，3a+b+2c=1，
联立得：

3a+b＝?3 a+b＝?1

，
解得

a＝?1 b＝0

，
故a=-1，b=0，c=2．