Question

设数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝43，an+1＝3Sn，n∈N*，（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log2an+1

设数列{an}的前n项和为Sn，若a1＝43，an+1＝3Sn，n∈N*，（1）求数列{an}的通项公式；（2）设bn=log2an+1，求数列{bn}的前n项和为Tn；（3）令cn＝1Tn，数列{cn}的前n项和为Un，试求最小的集合[a，b），使Un∈[a，b）．

Answer 1

（1）由a_n+1=3S_n①，得a_n=S_n-1（n≥2）②，
①-②得，a_n+1-a_n=3a_n，即a_n+1=4a_n（n≥2），
又a₂=3S₁=3×

4

3

=4，4a₁=

16

3

，
∴数列{a_n}从第二项起构成等比数列，公比为4，
∴an＝a2?4n?2＝4?4n?2=4^n-1（n≥2），
∴an＝

4 3 ，n＝1 4n?1，n≥2

；
（2）由（1）得，b_n=log₂a_n+1=log24n+1?1=2n，
∴T_n=2+4+6+…+2n=

n(2+2n)

2

=n（n+1）；
（3）由（2）知，cn＝

1

Tn

=

1

n(n+1)

＝

1

n

?

1

n+1

，
∴U_n=1-

1

2

+

1

2

?

1

3

+…+

1

n

?

1

n+1

=1-

1

n+1

，
易知1-

1

n+1

单调递增，
∴1-

1

2

≤1-

1

n+1

＜1，即

1

2

≤U_n＜1，
∴最小的集合[a，b）=[

1

2

，1），使U_n∈[a，b）．