Question

如图1，以点O为圆心，半径为4的圆交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，点P为弧AC上的一动点，延长CP交x轴

如图1，以点O为圆心，半径为4的圆交x轴于A，B两点，交y轴于C，D两点，点P为弧AC上的一动点，延长CP交x轴于点E；连接PB，交OC于点F．（1）若点F为OC的中点，求PB的长；（2）求CP?CE的值；（3）如图2，过点OH∥AP交PD于点H，当点P在弧AC上运动时，试问APDH的值是否保持不变；若不变，试证明，求出它的值；若发生变化，请说明理由．

Answer 1

解答：（本题满分8分）
解：（1）连接AP，
∵AB为⊙O的直径，
∴∠APB=∠FOB=90°．
∵∠ABP=∠FBO，
∴△ABP∽△BOF．
∴

BP

OB

＝

AB

BF

．（1分）
∵BF＝

OF2+OB2

＝2

5

，
∴

BP

4

＝

8

2 5

．
∴BP＝

16 5

5

．（2分）

（2）连接BC，
∵OC⊥AB，BC＝

OC2+OB2

＝4

2

，
∴

AC

=

BC

，
∴∠CPB=∠EBC．（3分）
∵∠BCP=∠BCE，
∴△BCP∽△ECB．
∴

BC

CP

＝

CE

BC

．（4分）
∴BC²=CP?CE=32．（5分）

（3）

AP

DH

的值保持不变．（6分）
连接PC，AC，
∵OH∥AP，
∴∠APD=∠OHP=

1

2

∠AOD=45°．
∴∠CPA=∠OHD=135°．
又∵∠CAP=∠ODH，
∴△CAP∽△ODH．（7分）
∴

AP

DH

＝

AC

OD

＝

4 2

4

＝

2

．
当点P在弧AC上运动时，

AP

DH

的值保持不变，

AP

DH

的值为

2

．（8分）