Question

已知抛物线y=mx^2+2mx+n交x轴于a b两点,交Y轴于C(0,3),顶点为D,且AB=4，求抛物线解析式。

Answer 1

解：抛物线对称轴是x=-2m/2m=-1，对称轴与x轴交点是(-1,0)，设交点是E，又因为AB=4，
而AE=BE，所以AE=BE=2，得出A点，B点坐标分别是(1,0)和(-3,0)，然后将这两点坐标和C点坐标代入fx，得m+2m+n=0，9m-6m+n=0，n=3，解得m=-1。
所以抛物线解析式是：fx=-x^2-2x+3

追问

还有没有其它方法？

追答

A点和B点关于对称轴对称，A点到对称轴的距离等于B点到对称轴的距离，因A点和B点都在x轴上，A点到对称轴的距离就是AE，B点到对称轴的距离就是BE

这就是最好的方法了。。。

Answer 2

y＝mx^2+2mx+n
＝m(x+1)^2+(n-m).
它交Y轴于点C(0,3),则
3＝m(0+1)^2+(n-m)
→n＝3.
∴y＝m(x+1)+3-m
＝mx^2+2mx+3.
上式令y＝0,依韦达定理有
x1+x2＝-2, x1x2＝3/m.
∴|AB|＝|x1-x2|
＝√[(x1+x2)^2-4x1x2]
＝4
→√[(-2)^2-4·(3/m)]＝4
∴解得，m＝-1.
于是，以m＝-1, n＝3代回原式，得
抛物线方程：y＝-x^2-2x+3。