Question

函数f（x）=sinx-cosx+sin2x，（x属于R）的最大值为

函数f（x）=sinx-cosx+sin2x，（x属于R）的最大值为_______ 感谢诸位大神！！！题中确是X的正弦减余弦，不是乘

Answer 1

设t=sinx-cosx=根号2sin(x-Pai/4),故有:-根号2<=t<=根号2

t^2=1-2sinxcosx=1-sin2x
那么有f(t)=t+1-t^2=-(t-1/2)^2+5/4
故当t=1/2时有最大值是5/4,当t=-根号2时有最小值是-根号2+1-2=-根号2-1
即有最大值是:5/4

Answer 2

f（x）=sinx-cosx+sin2x＝√2sin（x－π／4）＋cos（2x－π／2）

＝√2sin（x－π／4）＋1－2sin＾2（x－π／4）
＝－2［sin＾2（x－π／4）－√2／2sin（x－π／4）］＋1
＝－2［sin（x－π／4）－√2／4］＾2＋1＋1／4
所以最大值时5／4
不懂可以追问，谢谢！

Answer 3

f（x）=sinx-cosx+sin2x
=(sinx-cosx)+1-(sinx-cosx)²
=5/4-[1/2-(sinx-cosx)]²
=5/4-[1/2-√2(sin(x-π/4)]²
因此，最大值为5/4

Answer 4

设t=sinx-cosx=根号2sin(x-Pai/4),故有:-根号2<=t<=根号2
t^2=1-2sinxcosx=1-sin2x
那么有f(t)=t+1-t^2=-(t-1/2)^2+5/4
故当t=1/2时有最大值是5/4,当t=-根号2时有最小值是-根号2+1-2=-根号2-1
即有最大值是:5/4

Answer 5

f(x)=sin2x+sinx+cosx
=2sinxcosx+sinx+cosx
=(1+2sinxcosx)+sinx+cosx-1
=(sinx+cosx)²+(sinx+cosx)-1
=t²+t-1
令t=sinx+cosx
=y(t)
则f(x)的最大值即为抛物线y(t)=t²+t-1的最大值
因t=sinx+cosx=√2sin(x+π/4)
∴t的取值范围为t∈[-√2,√2]
而抛物线y=t²+t-1=(t+1/2)²-3/4，对称轴为t=-1/2，开口向上
∴在t∈[-√2,√2]上，y(t)在t=-1/2处取得最小值，在t=√2处取得最大值
∴f(x)的最大值为y(√2)=2+√2-1=1+√2

Answer 6

设t=sinx-cosx=根号2sin(x-Pai/4),故有:-根号2<=t<=根号2
t^2=1-2sinxcosx=1-sin2x
那么有f(t)=t+1-t^2=-(t-1/2)^2+5/4
故当t=1/2时有最大值是5/4,当t=-根号2时有最小值是-根号2+1-2=-根号2-1
即有最大值是:5/4