Question

n的阶乘的n分之一次方的极限是什么？

Answer 1

n的n分之一次方的极限等于1。将n换为x，即求：lim[x→+∞] x^(1/x)=lim[x→+∞] e^[(1/x)lnx]=e^[lim[x→+∞] (1/x)lnx]，洛必达法则=e^[lim[x→+∞] (1/x)]=e^0=1。

证明：n^(1/n)的极限为1

记n^(1/n)=1+a(n), 则n=(1+a(n))^n>n(n-1)/2 * (a(n))^2, 所以

0<a(n)<(2/(n-1))^(1/2)

对任意ε>0, 取N=1+ 2/ε^2, 当n>N时

|n^(1/n)-1|=a(n)<(2/(n-1))^(1/2) <ε

所以lim(n^(1/n))=1。

“极限”是数学中的分支——微积分的基础概念，广义的“极限”是指“无限靠近而永远不能到达”的意思。