Question

已知△AOB，将△AOB绕O点旋转到△COD位置，使C点落在OB边上，连接AC、BD．（1）若∠AOB=90°（如图1），

已知△AOB，将△AOB绕O点旋转到△COD位置，使C点落在OB边上，连接AC、BD．（1）若∠AOB=90°（如图1），小亮发现∠BAC=∠BDC，请你证明这个结论；（2）若∠AOB=60°（如图2），小亮发现的结论是否仍然成立？说明理由；（3）若∠AOB为任意角α（如图3），小亮发现的结论还成立吗？说明理由；

Answer 1

（1）证明：∵将△AOB绕O点旋转到△COD位置，
∴OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，
∵∠AOB=∠COD=90°，
∴∠CAO=∠OCA=45°，∠ODB=∠OBD=45°，
∴∠BAC=∠BAO-∠CAO，∠BDC=∠DCO-∠DBO，
∴∠BAC=∠BDC．

（2）仍成立，
理由是：将△AOB绕O点旋转到△COD位置，
∴OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，
∵∠AOB=∠COD=60°，
∴△ACO、△OBD是等边三角形，
∴∠OCA=∠OBD=∠OAC=60°，
∴∠BAC=∠BAO-∠CAO=∠BAO-60°，∠BDC=∠DCO-∠DBO=∠DCO-60°，
∴∠BAC=∠BDC．

（3）仍成立，
理由是：将△AOB绕O点旋转到△COD位置，
∴OA=OC，OB=OD，∠BAO=∠DCO，
∴∠CAO=∠ACO，∠OBD=∠ODB，
∵∠CAO+∠ACO+∠AOB=180°，∠OBD+∠ODB+∠BOD=180°，
∴∠CAO=∠OBD，
∵∠BAC=∠BAO-∠CAO，∠BDC=∠DCO-∠DBO，
∵∠BAO=∠DCO，
∴∠BAC=∠BDC．