Question

如图，M为⊙O上的一点，⊙M与⊙O相交于A、B两点，P为⊙O上任意一点，直线PA、PB分别交⊙M于C、D两点，直

如图，M为⊙O上的一点，⊙M与⊙O相交于A、B两点，P为⊙O上任意一点，直线PA、PB分别交⊙M于C、D两点，直线CD交⊙O于E、F两点，连接PE、PF、BC，下列结论，其中正确的有（　　）①PE=PF；②PE2=PA?PC；③EA?EB=EC?ED；④PBBC=Rr（其中R、r分别为⊙O、⊙M的半径）A．①②③B．①②④C．②④D．①②③④

Answer 1

解：连接AB，
∵

AE

=

AE

，
∴∠APE=∠ABE，
∵∠PEF=∠ACD+∠APE，
=∠ABP+∠ABE，
=∠PBE，
∵

PE

=

PE

，
∴∠F=∠PBE，
∴∠F=∠PEF，
∴PE=PF，故①选项正确；

∵

AP

=

AP

，
∴∠ABP=∠AEP，
∵

AD

=

AD

，
∴∠ABP=∠ACD，
∴∠AEP=∠ACD，
∵∠APE=∠APE，
∴△PAE∽△PEC，
∴

PE

PC

=

PA

PE

，
∴PE²=PA?PC，故②正确；

作直径CH，连接BH，∴∠CBH=90°，
作直径PN，连接BN，∴∠PBN=90°，
∴∠CBH=∠PBN，
∵

BC

=

BC

，
∴∠BAC=∠H，
∵∠BAC=∠N（圆内接四边形的外角等于内对角），
∴∠H=∠N，
△BCH∽△BPN，
∴

PB

BC

=

PN

CH

=

2R

2r

=

R

r

，故此④选项正确；

如图（2）连接MA，MB，MC，
∴MA=MB=MC，
设∠MAC=∠MCA=α，
∠MCB=∠MBC=β，
∠MAB=∠MBA=γ，
∵

AM

=

BM

=

1

2

AB

，
∴∠MAB=∠MBA=

1

2

∠APB，
∴∠APB=2γ，
∴∠CAB=∠APB+∠ABP，
α+γ=2γ+∠ABP，
∴∠ABP=α-γ，
∴∠PBC=∠ABP+∠ABC=α-γ+β+γ=α+β，
∴∠PCB=α+β，∴∠PBC=∠PCB，
∴PC=PB，
如图（1）∵PE=PF，PE²=PA?PC=PD?PB，
∴PE?PF=PD?PC，
∴

PE

PC

=

PD

PF

，
∵△PAE∽△PEC，
∴

EA

EC

=

PE

PC

，
∵△BDE∽△FDP，
∴

ED

PD

=

BE

PF

，
∴

ED

EB

=

PD

PF

，
∴

EA

EC

=

ED

EB

，
∴EA?EB=EC?ED，
∴③选项正确，
故①②③④都正确，
故选：D．