Question

已知函数f(x)=x3-ax2-3x,(1)若a=1，求f(x)的单调区间，若f(x)在[1,正无穷]上是增函数，求实数A的范围

Answer 1

当a=1时，单调增区间是[1/3，正无穷），单调减区间是（负无穷，1/3]
在（1，正无穷）是增函数，a的范围是小于等于3

Answer 2

a=1,f(x)=x^3-x^2-3x

f'(x)=3x^2-2x-3=3(x-1/3)^2-10/3>0
(x-1/3)^2>10/9
x>1/3+根号10/3或x<1/3-根号10/3
即单调增区间是(1/3+根号10/3,+OO)和(-OO,1/3-根号10/3)
又由f'(x)<0得到单调减区间是(1/3-根号10/3,1/3+根号10/3)
f(x)=x^3-ax^2-3x
f'(x)=3x^2-2ax-3在[1,+OO)上是增函数,即有f'(x)>0
即有2ax<3x^2-3
2a<3x-3/x
由于3x-3/x在[1,+OO)上是递增的函数,故有3x-3/x的最小值是3-3=0
即有2a<0
那么范围是a<0.

Answer 3

解：（1）f′(x)=3x²-2x-3>0得，单调递增区间（-∞，1/3-√10/3）∪（1/3+√10/3,+∞);；
单调递减区间（1/3-√10/3,1/3+√10/3)
(2)f′(x)=3a²-2ax-3>0，单调递增的一个区间[a/3+√(4a²+36)/6,+∞)
而f(x)在[1.+∞)上是增函数
∴a/3+√(4a²+36)/6≤1
∴a≤0