Question

设f(x)=a(x+1/x)+2lnx在[2,4]内为单调函数.求实数a的取值范围.

Answer 1

先对f(x)=a(x+1/x)+2lnx，求导得，

 

f(x)=a(1-1/x^2)+2/x

 

     =[(x^2+a)*x^2-a]/x^2

 

因为，X在{2,4}区间内

 

所以，X^2恒大与0

 

即，要判断出函数的单调性，接下来需要对(x^2+a)*x^2-a分类讨论。

 

1. (x^2+a)*x^2-a>0,X在{2,4}区间内

    

   解得，a此时的取值范围是a>-8/3

 

2.(x^2+a)*x^2-a<0,X在{2,4}区间内

 

      解得，a此时的取值范围是  a<-32/15

 

综上，解得a此时的取值范围是-8/3<a<-32/15

 

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Answer 2

f'(x)=-a/x²+2/x
假设不是单调函数，则在(2,4)上存在m,使f'(x)=-a/x²+2/x=0
m=a/2,故a取值为(4,8)
故f（x）为单调函数时，a≤4或a≥8

Answer 3

求导后，化成ax^2 2x-a>0使在区间[2,4]成立。讨论a。。懒得写了