Question

微分方程xy’+y=2√xy的通解

怎么做

Answer 1

令√xy=u

xy’+y=2√xy

xdy+ydx=2√xydx

d(xy)/[2√xy]=dx

积分得通解：√xy=x+C

扩展资料

牛顿和G.W.莱布尼茨创造微分和积分运算时，指出了它们的互逆性，事实上这是解决了最简单的微分方程y'=f(x)的求解问题。当人们用微积分学去研究几何学、力学、物理学所提出的问题时，微分方程就大量地涌现出来。

牛顿本人已经解决了二体问题：在太阳引力作用下，一个单一的行星的运动。他把两个物体都理想化为质点，得到3个未知函数的3个二阶方程组，经简单计算证明，可化为平面问题，即两个未知函数的两个二阶微分方程组。用叫做“首次积分”的办法，完全解决了它的求解问题。

Answer 2

y'+y/x=2√(y/x)
令y/x=u，则y'=u+xu'
所以u+xu'+u=2√u
xu'=2√u-2u
du/(2√u-2u)=dx/x
两边积分
左边令√u=t
则左边=∫2tdt/(2t-2t^2)=∫dt/(1-t)=-ln|1-t|+C=-ln|1-√u|+C=-ln|1-√(xy)|+C
右边=ln|x|+C
所以1/(1-√(xy))=Cx
1-√(xy)=C/x
√(xy)=1-C/x
y=(1-C/x)^2/x

Answer 3

有个简单的办法：（就是令√xy=u
xy’+y=2√xy
xdy+ydx=2√xydx
d(xy)/[2√xy]=dx
积分得通解：√xy=x+C