Question

数学分析证明题目。。

Answer 1

因为，f(x)在邻域内有n阶导数

所以，可以对等式求n－1次导数

然后利用导数的极限定义来证明θ的极限

看得不是很清楚，应该是证明h趋近于0时，θ＝(n－1)次根号下(1/n)

具体过程如下图：

过程太多了，截图以后字很小

要是看不清的话，可以点击图片放大

就这样了，有看不懂的地方再问我

追问

有图吗。。

追答

没显示吗，还等着你采纳呢，^_^

 

Answer 2

利用带Peano余项的Taylor公式

f(x0+h)=f(x0)+f'(x0)h+f^{(n)}(x0)h^n/n!+o(h^n)
可得f'(x0+θh)h-f'(x0)h=f^{(n)}(x0)h^n/n!+o(h^n)
对f'用Taylor公式得到
f'(x0+h)h-f'(x0)h=f^{(n)}(x0)θ^{n-1}h^n/(n-1)!+o(h^n)
比较一下h^n项的系数即可
（严格的写法是两边除以h^n后让h->0得到一个收敛的极限)