Question

问下刘老师，非齐次线性方程组解的线性相关性与秩的关系

系数矩阵为4*3矩阵的非齐次线性方程组有3个线性无关的解，能说明系数矩阵的秩为3吗？看书上例题，发现秩为2的系数矩阵也可以有3个线性无关的解

Answer 1

不能说明，齐次和非齐次的计算是要分开计算的，非齐次是在齐次的基础上再加上一个特解，所以原来线性相关的向量再加上一个向量未必还线性相关，具体情况请参照李永乐线代辅导大概第三章的总结内容，上面说的很详细。

追问

不对呀，秩为r的时候，基础解系的个数是n-r，那么上面题的线性无关的解的个数是3的话，那么秩应该0才对呀

Answer 2

若 a1,a2,a3 是 Ax=b 的线性无关的解
则 a1-a3,a2-a3 是 Ax=0 的线性无关的解
所以 n-r(A) >= 2
r(A) <= n-2 = 1
只能得到上述结论

Ax=0 的线性无关的解的个数为 n-r(A)
Ax=b 的线性无关的解的个数为 n-r(A)+1

Answer 3

对齐次方程好像有这个结论，但是非齐次方程无法得到秩的那个结论。。。