已知函数f（x）=cos2x-sin2x+23sinxcosx．（1）当x∈[0，π2]时，求f（x）的值域；（2）△ABC的内角A，B
已知函数f（x）=cos2x-sin2x+23sinxcosx．（1）当x∈[0，π2]时，求f（x）的值域；（2）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin...
已知函数f（x）=cos2x-sin2x+23sinxcosx．（1）当x∈[0，π2]时，求f（x）的值域；（2）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，sin（A+B）=2sin（B+C），ba=3，求A以及f（B）的值．
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（1）∵函数f（x）=cos2x-sin2x+2
sinxcosx
=cos2x+
sin2x
=2sin（2x+
），
∵x∈[0，
]，
∴（2x+
）∈[
，
]，
∴sin（2x+
）∈[-
，1]，
∴2sin（2x+
）∈[-1，2]，
∴f（x）∈[-1，2]，
∴f（x）的值域[-1，2]；
（2）sin（A+B）=2sin（B+C），
∴sin（π-C）=2sin（π-A），
∴sinC=2sinA，
∵sinC=
，sinA=
，（其中R为△ABC外接圆的半径），
∴c=2a，
∵
=
，
∴b=
a，
由余弦定理，得
cosA=
=
| 3 |
=cos2x+
| 3 |
=2sin（2x+
| π |
| 6 |
∵x∈[0，
| π |
| 2 |
∴（2x+
| π |
| 6 |
| π |
| 6 |
| 7π |
| 6 |
∴sin（2x+
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
∴2sin（2x+
| π |
| 6 |
∴f（x）∈[-1，2]，
∴f（x）的值域[-1，2]；
（2）sin（A+B）=2sin（B+C），
∴sin（π-C）=2sin（π-A），
∴sinC=2sinA，
∵sinC=
| c |
| 2R |
| a |
| 2R |
∴c=2a，
∵
| b |
| a |
| 3 |
∴b=
| 3 |
由余弦定理，得
cosA=
| b2+c2?a2 |
| 2bc |
3a2+4a2?a
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