Question

如图，已知直角梯形ABCD，∠B=90 。 ,AD∥BC,并且AD+BC=CD,0为AB的中点. (1)求证：以AB为直径的⊙D与

如图，已知直角梯形ABCD，∠B=90 。 ,AD∥BC,并且AD+BC=CD,0为AB的中点. (1)求证：以AB为直径的⊙D与斜腰CD相切； (2)若OC=8 cm，OD=6 cm,求CD的长.

Answer 1

证明：（方法一） 过 AB 的中点 O 作 OE ⊥ CD 于 E. S 梯形 ABCD = ( AD + BC ) AB =( AD + BC ) OA =2( ADOA + BCOB ) =2(S ⊿ OAD +S ⊿ OBC ) S 梯形 ABCD =S ⊿ OBC + S ⊿ OAD + S ⊿ OCD ∴S ⊿ OBC + S ⊿ OAD =S ⊿ OCD ∴ AD·OA+ BC·OA= CD·OE ∴ ( AD + BC ) · OA = CD · OE 又 AD + BC = CD    ∴ OA = OE , ∴ E 点在以 AB 为直径的⊙ O 上，又 OE ⊥ CD ∴ CD 是⊙ O 的切线 即： CD 与⊙ O 相切                     方法二： 在 CD 上取中点 F ，连接 OF ，有梯形中位线可知 OF = ( AD + BC )= CD ∴ O 点在以 CD 为直径的⊙ F 上 ∴∠1=∠3,∠2=∠4，又 OF ∥ AD ∥ BC ∴∠5=∠3,∠6=∠4 ∴∠1=∠5, ∠2=∠6 在 CD 上取点 E ，且 DE = DA ，则 CE = CB ∴⊿ OAD ≌⊿ OED , ⊿ OBC ≌⊿ OEC ∴∠ A =∠ OED =90°, ∠ B =∠ OEC =90° ∴ OE ⊥ CD ,且 OE 的长为⊙ O 的半径， ∴以 AB 为直径的⊙ O 与 CD 相切于 E 。 由 CD 为直径的⊙ F 与 AB 相切于 O ，则 OD ⊥ OC . ∴ CD =