Question

如图，在△ABC中，AB=AC，P为△ABC内一点，且∠BAP=70°，∠ABP=40°，（1）求证：△ABP是等腰三角形；（

如图，在△ABC中，AB=AC，P为△ABC内一点，且∠BAP=70°，∠ABP=40°，（1）求证：△ABP是等腰三角形；（2）连接PC，当∠PCB=30°时，求∠PBC的度数．

Answer 1

（1）证明：在△PAB中，∵∠BAP=70°，∠ABP=40°， ∴∠APB=180°-∠BAP-∠ABP=70°． ∴∠APB=∠BAP=70°． ∴AB=BP，即△ABP是等腰三角形． （2）过点A作AD⊥BC于D，交CP延长线于O，连接OB，过点B作BE⊥CP于E，则点E在CO延长线上， 即AD是等腰三角形ABC底边上的高， ∴AD是边BC的垂直平分线， ∴OB=OC， ∴∠OBC=∠OCB=30°， ∵BE⊥CE， ∴∠CEB=90°， ∴∠EBC=90°-30°=60°， ∴∠OBE=60°-30°=30°=∠OBD， 在△OEB和△ODB中 ∠OEB=∠ODB=90° ∠EBO=∠DBO BO=BO ∴△OEB≌△ODB（AAS）， ∴OD=OE，BD=BE， ∵∠BEC=∠ADB=90°， ∴在Rt△ABD和Rt△PBE中 AB=BP BD=BE ， ∴Rt△ABD≌Rt△PBE（HL）， ∴∠BAO=∠BPO，AD=PE， ∵OE=OD， ∴AO=PO， 在△AOB和△POB中 AB=BP ∠BAO=∠BPO AO=OP ∴△AOB≌△POB（SAS）， ∴∠ABO=∠PBO= 1 2 ∠ABP= 1 2 ×40°=20°， ∴∠PBC=30°-20°=10°．