Question

已知函数f（x）=e x （ax+1）（e为自然对数的底，a∈R为常数）。（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）对于

已知函数f（x）=e x （ax+1）（e为自然对数的底，a∈R为常数）。（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）对于函数h（x）和g（x），若存在常数k，m，对于任意x∈R，不等式h（x）≥kx+m≥g（x）都成立，则称直线y=kx+m是函数h（x），g（x）的分界线，设a=1，问函数f（x）与函数g（x）=-x 2 +2x+1是否存在“分界线”？若存在，求出常数k，m。若不存在，说明理由。

Answer 1

解：（1） 当 时， 即 函数 在区间 上是增函数， 在区间 上是减函数； 当 时， ，函数 是区间 上的增函数； 当 时， 即 函数 在区间 上是增函数，在区间 上是减函数。 （2）若存在，则 恒成立， 令 ，则 ， 所以 因此： 恒成立，即 恒成立， 由 得到： ， 现在只要判断 是否恒成立， 设 ， 因为： ， 当 时， ， ， 当 时， ， ， 所以： ， 即 恒成立， 所以：函数 与函数 存在“分界线”， 则 。