Question

计算二重积分∫∫D|x2+y2-1|dσ，其中D={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}

计算二重积分∫∫D|x2+y2-1|dσ，其中D={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1}．

Answer 1

记D1＝(x，y)|x2+y2≤1，(x，y)∈D
D2＝(x，y)|x2+y2＞1，(x，y)∈D
∴

?

D

|x2+y2?1|dσ=?

?

D1

(x2+y2?1)dxdy+

?

D2

(x2+y2?1)dxdy
=?

∫

π 2 0

dθ

∫

1 0

(r2?1)rdr+

?

D

(x2+y2?1)dxdy?

?

D1

(x2+y2?1)dxdy
=

π

8

+

∫

1 0

dx

∫

1 0

(x2+y2?1)dy?

∫

π 2 0

dθ

∫

1 0

(r2?1)rdr
=

π

4

?

1

3

Answer 2

在d上被积函数分块表示max{x2，y2}＝
x2，x≥y
y2，x≤y
(x，y)∈d，
于是要用分块积分法，用y=x将d分成两块：d=d1∪d2，d1=d∩{y≤x}，d2=d∩{y≥x}．
i＝
∫∫
d1
emaxx2，y2dxdy+
∫∫
d2
emaxx2，y2dxdy=
∫∫
d1
ex2dxdy+
∫∫
d2
ey2dxdy＝2
∫∫
d1
ex2dxdy
=2
∫
1
0
dx
∫
x
0
ex2dy=2
∫
1
0
xex2dx＝ex2|_1＝e?1．

Answer 3

简单计算一下即可，答案如图所示