Question

在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC．（1）若∠BAC＝π3，AB=AC=PA=2，E、F分别为棱AB、PC的中点，求线段EF的

在三棱锥P-ABC中，PA⊥平面ABC．（1）若∠BAC＝π3，AB=AC=PA=2，E、F分别为棱AB、PC的中点，求线段EF的长；（2）求证：“∠PBC=90°”的充要条件是“平面PBC⊥平面PAB”．

Answer 1

解答：解：（1）取AC的中点O，连接EO，FO．
因为F为棱的中点，所以FO∥PA，且FO＝

1

2

PA＝1，
因为PA⊥平面ABC，EO?平面ABC，所以PA⊥EO
所以FO⊥EO．----------（3分）
因为∠BAC＝

π

3

，AB=AC=2，所以△ABC是边长为2的等边三角形．
所以BC=2，因为O，E分别为线段AC，AB的中点，
所以EO＝

1

2

BC＝1．----------（5分）
因此在直角三角形EOF中，EF＝

OE2+OF2

＝

2

．----------（6分）
证明：（2）（必要性，即先证明命题“若∠PBC=90°，则平面PBC⊥平面PAB”为真命题．）
因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC．
又因为∠PBC=90°，即PB⊥BC，PA∩PB=P，所以BC⊥平面PAB．
又因为BC?平面PBC，所以平面PBC⊥平面PAB．----------（10分）
（充分性，即证明命题“若平面PBC⊥平面PAB，则∠PBC=90°”为真命题．）
在平面PAB内，过A作AD⊥BC，D为垂足．
因为平面PBC⊥平面PAB，平面PBC∩平面PAB=PB．
所以AD⊥平面PBC，所以AD⊥BC．
因为PA⊥平面ABC，所以PA⊥BC．
又AD，PA?平面PAB，PA∩AD=A，所以BC⊥平面PAB．
所以BC⊥PB，即∠PBC=90°
综上，“∠PBC=90°”的充要条件是“平面PBC⊥平面PAB”．-------（14分）