Question

正定矩阵一定是方阵吗

Answer 1

正定矩阵一定是方阵。

设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT 表示z的转置，就称M为正定矩阵。计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。

正定矩阵有以下性质

（1）正定矩阵的行列式恒为正。

（2）实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同。

（3）若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵。

（4）两个正定矩阵的和是正定矩阵。

（5）正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

Answer 2

正定矩阵一定是方阵。

广义定义：设M是n阶方阵，如果对任何非零向量z，都有zTMz> 0，其中zT 表示z的转置，就称M为正定矩阵。

正定矩阵有以下性质：

（1）正定矩阵的行列式恒为正。

（2）实对称矩阵A正定当且仅当A与单位矩阵合同。

（3）若A是正定矩阵，则A的逆矩阵也是正定矩阵。

（4）两个正定矩阵的和是正定矩阵。

（5）正实数与正定矩阵的乘积是正定矩阵。

根据正定矩阵的定义及性质，判别对称矩阵A的正定性有两种方法：

（1）求出A的所有特征值。若A的特征值均为正数，则A是正定的；若A的特征值均为负数，则A为负定的。

（2）计算A的各阶主子式。若A的各阶主子式均大于零，则A是正定的；若A的各阶主子式中，奇数阶主子式为负，偶数阶为正，则A为负定的。

对于n阶实对称矩阵A，下列条件是等价的：

（1）A是正定矩阵。

（2）A的一切顺序主子式均为正。

（3）A的一切主子式均为正。

（4）A的特征值均为正。