Question

函数f（x）=loga（x-3a）（a＞0，且a≠1），当P（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，Q（x-a，-y）是函数

函数f（x）=loga（x-3a）（a＞0，且a≠1），当P（x，y）是函数y=f（x）图象上的点时，Q（x-a，-y）是函数y=g（x）图象上的点．?（Ⅰ）求函数y=g（x）的解析式；?（Ⅱ）当x∈[a+3，a+4]时，恒有f（x）-g（x）≤1，试确定a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）设P（x₀，y₀）是y=f（x）图象上点，Q（x，y），则

x＝x0?a y＝?y0

，
∴

x0＝x+a y0＝?y

，∴-y=log_a（x+a-3a），∴y=log_a

1

x?2a

 （x＞2a）．（5分）
（Ⅱ）令?（x）=f（x）-g（x）=log_a[（x-2a）（x-3a）]=loga[(x?

5a

2

)2?

a2

4

]，
由

x?2a＞0 x?3a＞0

，得x＞3a，由题意知a+3＞3a，故a＜

3

2

，
从而（a+3）-

5a

2

=

3

2

(a?2)＞0，
故函数?（x）=（x-

5a

2

）²-

a2

4

在区间[a+3，a+4]上单调递增，（8分）
①若0＜a＜1，则?（x）在区间[a+3，a+4]是单调递减，
∴?（x）在[a+3，a+4]上的最大值为?（a+3）=loga(2a2?9a+9)，
在区间[a+3，a+4]上不等式f9x）≤1恒成立，
等价于不等式loga(2a2?9a+9)≤1成立，
从而2a²-9a+9≥a，解得a≥

5+ 7

2

或a≤

5? 7

2

，
结合0＜a＜1．得0＜a，1．
（2）若1＜a＜

3

2

，则?（x）在区间[a+3，a+4]上单调递增，
∴?（a+3，a+4]上的最大值为?（a+4）=loga(2a2?12a+16)，
在[a+3，a+4]上不等式?（x）≤1恒成立．
等价于不等式loga(2a2?12a+16)≤1成立，
从而2a²-12a+16≤a，即2a²-13a+16≤0，解得

13? 41

4

＜a≤

13+ 41

4

．
∵

13? 41

4

＞

3

2

，∴不符合．（14分）
综上可知：a的取值范围为（0，1）．（15分）