Question

一道高中数学数列题，求详细过程，谢谢

Answer 1

⑴an＝2a(n－1)＋2^n
两边同时除以2^n，得
an/(2^n)＝a(n－1)/[2^(n－1)]＋1
即[an/(2^n)]－[a(n－1)/[2^(n－1)]]＝1
∴数列{an/(2^n)}是首项a1/2＝1/2，公差d＝1的等差数列
∴an/2^n＝1/2＋(n－1)×1＝n－1/2
则an＝(n－1/2)×(2^n)
⑵Sn用错位相减法求即可。
Sn＝1/2×2＋3/2×2^2＋5/2×2^3＋……＋(n－1/2)×(2^n) ①
则2Sn＝1/2×2^2＋3/2×2^3＋5/2×2^4＋……＋(n－1/2)×(2^(n＋1)) ②
①－②，得：
－Sn＝1＋2^2＋2^3＋……＋2^n－(n－1/2)×(2^(n＋1))
＝2＋2^2＋2^3＋……＋2^n－(n－1/2)×(2^(n＋1)) －1
＝[2(1－2^n)]/(1－2)－(n－1/2)×(2^(n＋1)) －1
＝(3－2n)×(2^n)－3
∴Sn＝(2n－3)×(2^n)＋3＞(2n－3)×(2^n)

即Sn/(2^n)＞2n－3

Answer 2

an/2^n=an-1/2^n-1+1

an/2^n-an-1/2^n-1=1
∴﹛an/2^n﹜是首项为1/2，公差为1的等差数列
an/2^n=n-1/2
∴an=2^n*(n-1/2)
然后用分组求和和等比数列直接求和的方法就行了

Answer 3

关键是第一问，两边同时除以2^n即可